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该团队研究了由含时哈密顿量在Krylov子空间中产生的量子动力学，该子空间是演化发生的最小子空间。该团队在含时Krylov子空间的动力学与哈密顿量潜在的李代数结构之间建立了直接联系。利用根系几何结构，该团队发展了一个通用框架，其中含时Krylov子空间的动力学由相关李代数的阶梯算符生成。特别地，该团队识别了精确含时Krylov动力学自然由相互作用图像哈密顿量决定并受嵌入的𝔰𝔩(2,ℂ)子代数支配的最小条件。该团队进一步证明，时间演化算符的精确单指数表示会在一个幺正相关的基中产生独特的不含时Krylov动力学，尽管如此，精确的含时Krylov动力学仍可恢复。该团队还将该框架扩展到振子代数，作为幂零海森堡-外尔代数的最简单扩展，并提供了更多示例，包括平移和膨胀谐振子、由闭合Virasoro子代数支配的系统、旋转磁场中的自旋，以及多能级系统的高维推广。此外，该团队引入了由含时生成元产生的复杂度增长率的新量子速度极限，并证明对于由李代数支配的演化，它保持与不含时情况相同的函数形式。值得注意的是，该极限的饱和受到时间驱动的强烈影响，并且仅当哈密顿量在不同时间与自身对易时才持续存在。这些结果为表征具有潜在李代数结构的含时量子系统中的算符增长和Krylov复杂度建立了统一框架。