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狄拉克振子源自狄拉克哈密顿量 \(H^{\mathrm{D}} = \left( c\vecα\cdot \vec{p} + mc^{2}β\right)\)，其构造方式是通过一个非厄米替换 \(\overrightarrow{p} \rightarrow \overrightarrow{p} \pm iωβ\overrightarrow{q}\) 来修改动量。尽管该动量算符具有非厄米性，但由于狄拉克矩阵 \(\vecα\) 的存在，完整的哈密顿量仍然保持厄米性。然而，如果采用厄米形式的修改 \(\vec{p} \rightarrow \vec{p} \pm ωβ\overrightarrow{q}\)，则得到的哈密顿量不再具有厄米性。在这种情况下，该系统对应于一个倒置狄拉克振子 \(H^{\mathrm{r}}\)，其势能从下方无界，能谱变为连续谱，且本征函数不再平方可积，从而导致归一化困难。该团队证明哈密顿量 \(H^{\mathrm{r}}\) 是一个伪-\(\mathcal{PT}\) 对称算符，并引入了一个无界非酉变换，建立了 \(H^{\mathrm{r}}\) 与 \(H^{\mathrm{D}}\) 之间的联系。该工作的目的是分析这一相对论量子系统——即狄拉克倒置振子——尽管其具有多种应用场景，但仍可得到精确的解析解。