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本文研究含奇异势 \(V \in H^{s}\) 的薛定谔方程的傅里叶谱方法，其中 \(s > \max\{d/2-2, -1\}\)，\(d\) 表示空间维度。该设定涵盖一大类奇异势，例如三维库仑势和一维狄拉克δ势。首先，该工作将费什巴赫-舒尔映射与精细的扰动论证相结合，推导出傅里叶谱方法的尖锐收敛阶，特征值达到 \(2s+2\) 阶，特征函数在 \(H^1\) 范数下达到 \(s+1\) 阶。更重要的是，投影特征函数的 \(H^1\) 误差以更高阶 \(s+1+b\) 收敛，其中 \(b = \min\{s+2-d/2-\varepsilon, s+1, 2\} > 0\)（\(\varepsilon\) 为任意小正数），揭示了一种超收敛现象。其次，对于具有孤立点奇异性的势，该研究开发了一种渐近恢复技术来后处理傅里叶谱方法的解。所提出的方法（称为AR-FSM）充分利用了超收敛性质，使特征值达到 \(2s+2+2b\) 阶收敛，特征函数在 \(H^1\) 范数下达到 \(s+1+b\) 阶收敛，而AR后处理仅需与傅里叶谱方法自由度数量线性相关的计算成本。该分析引入了点奇异性的严格定义，并为其研究建立了基础框架。进一步，该工作建立了特征函数的渐近展开式，其中包含一个属于 \(H^{s+4}\) 的正则分量，以及与每个奇异点相关的 \(d+1\) 个渐近函数。数值实验证实了这些理论界的尖锐性。