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量子力学中的标度不变性可通过多种方式被破坏。一个著名案例是从连续标度不变性退化为离散标度不变性，其典型表现为三体问题中的埃菲莫夫效应。本研究探讨连续标度不变性可能破缺为另一种离散对称性：离散相位不变性。研究人员首先重新考察了半直线上具有反平方势的单体问题——这是非平庸标度不变量子力学体系中最简单的范例——并证明在耦合常数的特定窄窗范围内，连续标度不变性可破缺为离散相位不变性。该工作还揭示了离散相位不变性在S矩阵黎曼面上表现为环形分布的简单极点。随后，研究团队展示了展现离散相位不变性的三个少体问题案例：单体阿哈罗诺夫-玻姆问题、二维空间非全同粒子二体问题，以及一维空间非全同粒子三体问题，这些体系均在位形空间中包含余维数为二的“磁通量”结构。