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研究人员通过重正化群方法和自洽谐波近似，研究了具有幂律长程跃迁（随距离r按r^(-α)衰减）的一维玻色子相互作用系统。当α≥3时，基态始终呈现托诺加-卢廷格液体态；而当α<3时，在排斥作用足够弱的情况下，可能出现打破连续全局规范对称性的长程序基态。在正温度条件下，连续对称性破缺仅出现在α<2的区间；对于2<α<3的情况，研究发现存在托诺加-卢廷格液体态，其对应的托诺加-卢廷格指数在低温下会发散。