2026年7月9日——从智能手机到扫描隧道显微镜，再到粒子对撞机，支撑现代科技许多领域的核心，便是费米黄金定则。

这一以20世纪意大利裔美国物理学家恩里科·费米命名（但实际由英国物理学家保罗·狄拉克发现）的定则，是一个将实验中可测量的量（例如原子在不同能态之间“跃迁”的速度）与量子力学系统的微观属性联系起来的公式。每一节本科量子物理课上都会讲授这个公式。

然而，科学家有时会误用它。他们要么错误判断了该公式成立的适用条件，要么错过了其应用的“窗口期”。

耶鲁大学物理学家尼尔·纳冯表示，一份费米黄金定则的“使用手册”将对研究人员大有裨益——而如今，他和他的实验室伙伴们已经提供了这样一份手册。

“我们将量子力学中最著名的公式之一进行了测试，找出了它有效和失效的情况，其中包括许多物理学家并未完全意识到的问题，”纳冯说，他是耶鲁大学文理学院物理学副教授，也是发表在《自然·物理学》期刊上的一项新研究的资深作者。“我们想告诉每一位使用该公式的人，先停下来审视一下自己的参数设置。”

纳冯和他的团队发现他们为费米黄金定则描绘的这幅蓝图，纯属偶然。

在之前对准粒子（一种许多科学家用于理解相互作用的量子系统的突现量子客体）的研究中，纳冯和他的同事们使用精确的射频控制来改变被冷却到纳开尔文温度（比绝对零度高十亿分之一度）的原子的自旋状态。

他们对原子的控制如此精确，以至于能够确切地看到支配能量跃迁速率的黄金定则在何时生效。

“我们意识到可以看到完整的图景——在黄金定则适用之前、期间和之后，”纳冯说。“这真的很美妙。我们打开了一扇未曾料想到的门。”

基于他们的观察，研究人员指出了科学家倾向于误用该公式的两个方面。首先，驱动量子跃迁的微扰必须很弱。其次，该公式仅在特定的观测时间窗口内有效。

这两个条件都不像听起来那么简单。什么算是“弱”并不总是显而易见——这取决于被探测系统内在的能量尺度，而这些尺度并不总是事先知道的。时间窗口也同样微妙；它只有在系统有机会对微扰做出响应后才打开，并在初始状态被改变太多之前关闭。

并且，关键的是，这个窗口的宽度本身正是由所研究系统的特性决定的。

对于理解透彻的系统（例如处于电磁场中的孤立原子），物理学家可以精确计算出这两个条件。但对于强相互作用的粒子集合（例如纳冯团队研究的超冷量子气体）而言，即使使用超级计算机，计算也难以进行。

这就导致了一个循环问题：需要用黄金定则来解释实验数据，但了解黄金定则的适用位置又需要只有这些实验才能提供的信息。

纳冯指出，随着量子力学研究的步伐不断加快，为使用该公式提供更多指导将变得更加重要。化学、材料科学、半导体工程和量子计算等不同领域都在运用黄金定则。

“从某种意义上说，我们是在提高人们的意识，”纳冯说。“虽然这个公式是‘黄金’的，但它的假设条件绝不应被视为理所当然。”

这项研究的实验工作由耶鲁大学文理研究生院的物理系学生陈建一领导，同院的另一名物理系学生黄松涛做出了重要贡献。合著者包括耶鲁大学文理研究生院的学生艾伦·齐迪尔科夫斯基、加布里埃尔·阿松桑，前耶鲁大学学生季云鹏、格兰特·舒马赫，以及马里兰大学的亚历山大·舒克特。

该研究的资助来自美国国家科学基金会、戴维和露西尔·帕卡德基金会以及阿尔弗雷德·P·斯隆基金会。