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在经典稀疏图编码中，空间耦合是一种机制，使得置信传播（BP）解码能够达到非耦合系统的最大后验（MAP）或区域阈值性能。由于 MacKay-Neal/Hsu-Anastasopoulos (MN/HA) 打孔稀疏码组在 MAP 解码下能够达到容量，因此一个自然的问题是：空间耦合的 MN/HA 型 Calderbank-Shor-Steane (CSS) 码在种子 BP 解码下是否能够达到量子擦除信道上的哈希界。该研究在硬擦除 CSS 解码的密度演化（DE）层面上回答了这个问题。对于被擦除的坐标，两个二进制泡利分量仍未确定，即被擦除的量子比特由四种泡利可能情况表示。首先通过稀疏打孔矩阵及其对应的稠密集校验矩阵定义了 CSS 码组。针对固定的 Z 侧、X 侧以及校验次数，接着推导出一个五消息非耦合 DE 递归，将其分解为 Z 侧和 X 侧组成系统，并定义了两个组成势能。将耦合向量势能方法分别应用于这两个组成系统，证明了在所得有限度因子图上的种子 BP 解码能够达到 Z 侧度比率与 X 侧互补度比率中的较小者。在 X/Z 等速率特例化中（此时 Z 侧和 X 侧组成设计速率相等），该 BP 阈值是由设计速率确定的哈希界信道参数。因此，该论文从 DE 层面证明，使用有限度因子图的种子 BP 解码对于 X/Z 等速率族能够达到哈希界。有限长度 BP 浓度、块错误收敛以及理想 DE 种子的有限码实现则是独立的问题。