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Matchgate电路实现了自由费米子动力学：它们可以高效地进行经典模拟，但本身无法产生通用量子计算或酉设计形成所需的通用随机性。作者研究了一条超越这一可积极限的受控路径，通过向matchgate电路中掺杂非高斯门——在物理上相当于向原本自由的系统中注入费米子相互作用。利用matchgate交换子框架，作者实现了对酉$2$-设计形成的解析控制。对于全局混沌动力学，设计问题精确映射到一个具有Ornstein-Uhlenbeck连续极限的经典生灭马尔可夫链，将量子随机性的涌现重新表述为谱间隙与混合时间，并给出了近似$2$-设计所需非高斯门数量的严格界限。这些界限适用于一大类保宇称的非高斯门，与微观细节无关，数值结果还表明，同一机制控制着更高阶设计。当这些非高斯门作为胶合电路架构中的局部构建块时，可在多对数深度内、以稀疏的非高斯门数量实现近似保宇称的$2$-设计，这对类似Page纠缠增长及费米子经典影子协议具有重要意义。最后，局域性重塑了这一图景：在局部砖墙动力学中，设计形成受限于扩散且速度慢得多。该工作的结果将掺杂matchgate电路确立为一条从自由费米子到相互作用生成量子设计的受控、可解析处理的路径。