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阴影估计是一种从随机测量中预测量子性质的有力框架。尽管3-设计协议能实现最优的最坏情况性能，但实现这种最优性所需的最小测量基底数量一直悬而未解。本文证明，在最优最坏情况阴影估计中，\(\Theta(d^2)\)个测量基底既是必要的也是充分的，并构造了一个显式的基底族。与此形成鲜明对比的是，任意态2-设计已足以实现平均情况最优性：归一化可观测量的均方阴影范数受一个普适常数限制，同时该团队证明了哈达玛随机态具有强集中性，从而对一般纯态保真度估计实现常数的样本复杂度。易于实现的2-设计——源自互无偏基底、循环测量或浅层\(\mathcal{O}(\log n)\)深度电路——能够以极其简单的测量策略实现最优平均情况协议。该团队的研究结果揭示了基本的复杂度分离：最坏情况估计需要\(\Theta(d^2)\)个基底，而平均情况性能仅需\(\Theta(d)\)个基底，这对量子信息理论和近期实验具有广泛影响。