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电路深度是复杂性理论中的核心资源。虽然有界深度的经典电路拥有已被充分理解的层次定理，但恒定深度量子计算的内在结构仍相对未被探索。该工作证明了关于 \(\mathsf{QNC}^0\) 的一个显式深度层次定理。对于每个 \(d\ge 12\)，研究人员构造了一族两轮交互问题，在该问题上，任何深度为 \(d-1\) 的量子电路，无论采用何种门集合、电路规模或辅助量子比特，都无法实现近乎完美的成功。相比之下，该工作证明了该构造可以通过深度仅比 \(d\) 大一个微小常数的简单有界扇入量子电路来实现。此外，对于每个 \(d\)，所有深度为次对数（相对于输入规模）的有界扇入经典电路在这些任务上都无法实现完美成功，从而产生了一组问题，显示了 \(\mathsf{QNC}^0\) 相对于 \(\mathsf{NC}^0\) 的无条件量子优势。一个关键障碍是量子电路下界技术的匮乏。为解决此问题，研究人员开发了精细分析深度如何影响电路在其输出量子比特间实现非局域关联能力的方法。该方法利用了约束系统与非局域博弈之间的对应关系，将群论构造转化为刚性的算子值约束系统，再进一步转化为非局域博弈。具体而言，研究人员构造了约束系统，其唯一的忠实算子值解要求每个完美策略以及达到固定精度的每个近乎完美策略都必须实现多控制相位操作。这归结为一个非局域幺正综合问题，从而为浅层量子电路和经典电路都提供了深度下界。这些结果表明，在 \(\mathsf{QNC}^0\) 内增加深度会严格提升计算能力，建立了一个真正意义上的量子层次结构。