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量子傅里叶变换（QFT）是隐藏子群问题（HSP）算法（包括用于因数分解的Shor算法）所必需的。QFT的电路深度对近期的硬件来说仍然具有挑战性。为了寻找更浅的替代方案，该团队确定了QFT为实现HSP所利用的两个特性。首先，QFT的平移不变性允许去除随机的整体平移。其次，QFT保留了可在测量结果中访问的关于隐藏子群生成元的信息。该团队通过离散Fisher信息量化了该信息。该团队使用Hadamard门和受控相位门构造了一族浅层电路，即HP-\(L\)电路，并证明了这些电路保留了平移不变性。数值分析表明，这些电路保留了指数增长的Fisher信息。\(\mathcal{O}(n)\) 的HP-\(1\)可以替代Shor算法中\(\mathcal{O}(n^2)\) 的QFT，数值实验已证实这一点，并通过高效的神经网络实现了经典后处理。