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KAK 分解是李理论与量子计算中的基本工具。尽管其应用广泛，但数学基础仍不完整，特别是关于分解的精确条件以及通过 K 中元素乘法得到的等价类刻画问题。本文针对连通紧半单李群建立了 KAK 分解的数学理论，并推导了 SU(4) 的具体分解。该团队重点澄清了文献中关于 Cartan 分解多种定义之间的关系，给出了通用 KAK 分解定理的完整证明。随后区分了两种不同的 KAK 等价类概念——双陪集等价与投影等价，从而解决了文献中关于 KAK 分类的数学不一致性。具体而言，对于 SU(4)，该团队证明了在 SU(2)⊗SU(2) 乘法下的局部等价类在几何上并非如现有文献所述由通常的“Weyl 腔”表示。实际上，“Weyl 腔”仅能通过忽略全局相位的投影-局部等价恢复。该团队为两种等价概念建立了确定等价性与唯一性的系统理论。本研究为量子门与量子电路理论奠定了严格的李理论基础。