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研究表明，将Painlevé-II方程（P-II）推广至含对称性破缺项的耦合方程组后，该系统仍保持可积性。该研究团队通过构建该系统的Lax对，采用渐近精确的WKB方法，建立了不同无穷远边界处解的渐近行为关联。这一分析依赖于量子力学Demkov-Osherov模型（DOM）的精确解。当应用于二阶相变过程中的不稳定真空衰变问题时，该方法能精确标度激发态数量，并包含次要贡献项。