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该研究团队分析了一种通过锁相放大器反馈环路增强的单自由度参量谐振器实现深度亚阈值参量压缩或冷却的方法。由于反馈作用，参量谐振器的动力学行为变得更为复杂，在失稳阈值处可能出现霍普夫分岔现象。 研究首先计算了含交流信号反馈的参量放大相位相关增益。团队采用两种独立方法——平均法和谐波平衡法——对放大增益进行近似求解，并进一步运用Floquet理论和格林函数方法获得更精确结果。值得注意的是，谐波平衡法和Floquet理论均预测到霍普夫分岔现象，而平均法则未能捕捉该特征。 在 fluctuation 分析中，研究人员通过傅里叶方法解析了带反馈的参量谐振器对附加白噪声的响应。除计算噪声谱密度外，该工作还成功量化了反馈系统中 fluctuation 的压缩效应，发现可实现极强的压缩或冷却效果。其中去放大和冷却效应主要出现在霍普夫分岔附近，而压缩现象则发生于鞍结分岔邻域。