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该研究团队提出了一种针对1+1维非可逆对称算子的指标，并探讨了其与晶格上有限维局域希尔伯特空间张量积实现非可逆对称性的关联。该指标将Gross-Nesme-Vogts-Werner关于量子细胞自动机（QCA）表示的可逆对称算子的指标进行了推广。在假设所有对称算子融合通道具有相同指标的前提下，研究人员证明：在张量积希尔伯特空间上，有限多个对称算子的融合规则（模去QCA后）仅能与弱整数融合范畴的规则相符。该工作还尝试在张量网络框架内建立非可逆对称性的指标理论，为此首先提出了一类描述张量积希尔伯特空间上非可逆对称性的矩阵乘积算子（MPO）——称为“拓扑可注入MPO”，其涵盖所有可逆对称性、非反常融合范畴对称性及有限阿贝尔群的Kramers-Wannier对称性。针对这类MPO，研究人员构建了缺陷希尔伯特空间及对应的时序量子线路表示，并证明：若存在满足特定条件的融合张量与分裂张量，则所有拓扑可注入MPO的融合通道将具有相同指标。尽管团队已对上述所有示例显式构造出此类张量，但其普遍存在性尚未得到证明。