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1+1维横场伊辛模型的Kramers-Wannier变换交换了顺磁相与铁磁相，并在临界点表现为不可逆对称性。然而，如何在张量积希尔伯特空间中超越阿贝尔群的规范作用来扩展这类自对偶对称性，一直是理论难题。该研究团队基于有限维半单Hopf代数H构建了广义1+1维伊辛模型，该模型具有无反常的不可逆对称性Rep(H)。研究人员采用基于Hopf代数数据的非（余）交换ZX演算方法，以直观的图解形式给出了哈密顿量与对称算子的表述。当H具有自对偶性时，该工作进一步构造了广义Kramers-Wannier对偶算子——该算子不仅交换顺磁相与铁磁相，还在自对偶点转化为不可逆对称性。这种扩展的对称性与晶格平移发生耦合，在红外极限下流向由Rep(H)的ℤ2扩展给出的弱积分融合范畴。针对超越阿贝尔群代数的最小自对偶Hopf代数Kac-Paljutkin代数H8，该团队通过数值模拟研究了相图结构：在六种Rep(H8)对称有能隙相中识别出四种，它们被伊辛临界线分隔并在多临界点交汇；同时通过H-余模代数形式在晶格上实现了全部六种Rep(H8)对称有能隙相，与Rep(H8)的模范畴分类一致。这些成果为不可逆对称性、对偶性及其实现载体——张量积晶格模型提供了统一的Hopf代数框架。