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传统上，晶体学群是在实空间中研究以表征晶体对称性的。近期研究发现，当这些对称性以投影方式实现时，动量空间会自然地容纳非对称性对称操作，由此引出了动量空间晶体学群（MCGs）的概念。本文揭示MCGs的上同调编码了晶体拓扑能带结构的基础数据：所有MCGs ΓF的二阶上同调群H²(ΓF,ℤ)构成了阿贝尔晶体拓扑绝缘体的完备分类体系，可作为完整晶体拓扑分类的有效近似；而所有MCGs的三阶上同调群H³(ΓF,ℤ)则完备分类了布里渊环面上点群作用的所有可能扭曲形式，这些数据对扭曲等变K理论至关重要。此外，该研究团队建立了同构关系Hⁿ⁺¹(ΓF,ℤ)≅Hⁿ(ΓF,ℱ(ℝFᵈ,U(1)))（n≥1），其中ℱ(ℝFᵈ,U(1))表示d维动量空间ℝFᵈ上连续U(1)值函数空间。当n=1时，该同构给出了一套完全用代数术语表述的拓扑不变量全集，其与传统的微分形式表述存在根本性差异；类似地，n=2的情况为所有此类扭曲提供了纯代数描述。因此，MCGs的上同调理论构成了在投影对称性一般框架下分析晶体拓扑相的关键技术体系。