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低密度奇偶校验（LDPC）码是一类著名的泡利稳定子哈密顿量，可实现对称性破缺和拓扑有序（包括分形子）等非平凡能隙相的固定点。该研究团队提出在横向场存在下对这些模型进行对称性保持形变，并识别出形变路径上具有以下特征的临界点：(i) 该点为无阻挫点；(ii) 其基态包含乘积态与底层编码的码空间；(iii) 在热力学（无限体积）极限下仍保持能隙。因此该临界点实现了平凡能隙相与编码相关非平凡能隙相之间的一阶相变（或共存态）。若原始模型具有不可逆对偶对称性，则形变模型同样保留该特性。此时对偶对称性在临界点处发生自发破缺，与相关反常现象一致。证明能隙存在性的关键步骤是对编码坦纳图进行粗粒化/分块处理，从而成功应用鞅方法。该工作由此成为首个将鞅方法应用于定义在任意坦纳图上的非交换投影无阻挫模型的案例。研究人员还讨论了欧几里得空间晶格上的若干经典实例，其中特别令人关注的是2+1维横向场伊辛模型：尽管该情形不存在不可逆对偶对称性，但该团队的研究结果与已知数值模拟共同表明相图中可能存在三临界点。