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虽然通过格点方法可在多项式时间内计算具有有限行的克罗内克系数g(λ,μ,ν)，但自87年前默纳汉奠基性工作以来，对于真正的三行情况始终未能获得显式闭式公式——仅有算法存在。该研究团队首次提供了此类公式，并在参数值5处发现了一个普适性结构边界，此时基本组合模式会发生坍塌。 研究人员分析了两类独立的真正三行系数族——对称三元组(n,n,k)³和阶梯系数g(ρₖ,ρₖ,λ)，并证实当k≤4时，这些公式展现出基本结构：振荡边界遵循三角-霍格本模式aₖ=Tₖ²−k+1，且多项式表达式在ℤ上可完全因式分解。在临界阈值k=5处，该结构发生坍塌：三角模式失效并需+29修正，且在显式公式中出现了代数障碍——具有负判别式的不可约二次因子。 这一“五阈值”现象可能标志着𝔖ₙ表示理论中的结构边界。尽管其与𝔄₅可解性转变及阿贝尔-鲁菲尼定理的关联性引人遐想，但目前仍属推测范畴。该工作开发了“整数强迫”证明技术，通过利用连续渐近性与离散整性之间的张力，可应用于其他表示理论多重性族系。 作为具体成果，研究人员证明了g((n,n,1)³)=2−(n mod 2)对所有n≥3成立——这是首个真正的三行克罗内克系数显式公式；推导出阶梯-钩系数的五个显式多项式公式；并验证了萨克斯尔猜想对五个无限族系及所有132个k≤7的三行分划成立。