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分数阶微积分[laskin2000, NickLaskin]已成为刻画地球物理[berkowitz2006modeling]、光学[longhi2015fractional, zhang2015propagation]和生物系统[viswanathan1999optimizing, brockmann2006scaling]中长程关联与反常输运现象的核心框架。该工作将分数阶微积分在物理模型中的成功应用拓展至周期势场中的粒子研究，将薛定谔方程推广至分数阶形式[laskin2000, NickLaskin]。该框架揭示了莱维指数q如何调控能带的形成与反转，为通过调节q值设计周期量子系统中的新物理行为与器件功能提供了途径。 研究人员采用虚时间演化算法[JoshLewis]求解不同势垒高度V0、厚度L及势阱宽度W的矩形周期势场下的分数阶薛定谔方程(FSE)，并借助高斯过程回归[GPR2006]补充离散能散关系。分析表明，当q=2时系统能带结构发生定性转变，形成分别表征q>2和q<2行为的两种迥异模式。在q>2区域，随着q值增大，第一布里渊区内出现对称极小值并从k=0向k=±π/a移动，导致能带发生反转。这些简并极小值定义了布洛赫动量量子比特，类似于能谷电子学[Vitale2019]中的能谷自由度。基带反转响应随分数阶数按V0^(-0.28±0.05)L^(-0.34±0.08)W^(-0.49±0.06)规律变化，显示出对势场几何参数的可调敏感性。 而在q<2区域，k=0处的有效质量随q值呈指数衰减，衰减速率由V0、L和W共同决定。当q→1时，这种依赖性完全由分数阶数主导，产生普适有效质量0.15±0.01（所有测试势场方差小于0.6）。这些结果表明，莱维指数可作为量子周期系统中的可调自由度，通过驱动能带反转、调制带隙及重塑有效质量控制的载流子动力学来实现新型量子调控。