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该研究团队在采用两种特殊结构量子纠错码的混合编码系统中研究了Toffoli门的横向性。研究发现，采用三重正交码及其配对编码的系统能够完全横向实现Toffoli门。通过电路级分析，该工作证明了该系统中Toffoli操作的横向性。基于此混合编码框架，研究人员提出了一种不依赖预蒸馏𝐓门魔术态的Toffoli态蒸馏方案。在该方案中，Toffoli态仅通过横向操作直接在混合编码系统中逐层蒸馏。数值模拟表明，该方法比现有方案减少了约50%的量子比特资源消耗。