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针对Haar随机纯量子态，该研究团队探究了非稳定度量（又称“魔力”）的概率分布。研究发现：聚焦于稳定子Rényi熵时，其关联概率密度函数(PDFs)会呈现类似凝聚态系统中范霍夫奇点的显著非解析特征。对单量子比特而言，稳定子纯度在布洛赫球面鞍点对应的临界值处呈现对数发散，这一发散现象恰好出现在具有“|H⟩-魔力态”特性的量子态上——此类态可视为希尔伯特空间中非稳定态密度无限大的量子态。研究团队在α=2情形下推导出概率密度函数的精确表达式，并通过数值模拟验证了理论预测。当维度d≥3时，对数发散现象消失，这与平坦流形上普通范霍夫奇点的行为特征一致。此外，研究还揭示：对单量子比特而言，线性稳定子熵与量子测量的部分不相容性（量子力学基本特性之一，正是施特恩-格拉赫实验的基础）存在直接关联。