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几何与拓扑是现代凝聚态物理的基础要素，但它们在量子系统中的精确联系尚未被完全理解。本研究提出了一种计算布洛赫能带量子度量曲率的解析方法。通过基于本征投影算符的规范不变表述，研究人员构建了量子态流形的完整黎曼几何结构，并将其应用于二维双带模型。研究发现：在规则区域高斯曲率保持恒定，但流形必然会出现由度量张量退化点构成的闭合奇异曲线。这些奇点阻碍了传统高斯-博内定理的应用。 该团队通过引入“前沿”概念和带符号面积形式，推导出包含沿折叠曲线定义的奇异曲率项的广义高斯-博内关系式。这一结果表明总带号高斯曲率与陈数之间存在直接的量子化关联，为贝里曲率和量子度量提供了统一的几何解释。该框架架起了微分几何与拓扑能带理论之间的桥梁，揭示了奇异折叠如何调节量子体积与拓扑电荷之间的差异。