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具有非零误差阈值的量子纠错码，当错误率达到该阈值时会发生混合态相变。该研究团队以哈尔随机量子码为研究对象（这类码将逻辑信息编码在物理希尔伯特空间的随机子空间中），重点分析了编码系统密度矩阵的谱结构随单量子比特无关错误率的变化规律。在低错误率下，谱结构呈现明显分离的能带，对应不同权重的错误模式；随着错误率升高，高权重错误的能带逐渐合并。研究发现，这些能带随错误率变化的演化过程可通过一个简洁的解析模型准确描述。通过该模型及直接计算，研究人员证明哈尔随机量子码的阈值达到哈希理论上界，与随机稳定子码的阈值一致。当错误率超过哈希界时，典型错误将不可纠正，但通过后选择操作仍可实现纠错——这种纠错能力可持续至更高的“探测阈值”。后选择操作本质上可通过投影到低权重错误对应的子空间来实现，这些子空间在超越哈希界后仍保持可纠错性。