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在该工作中，研究人员探索了通过含噪声量子电路编码逻辑信息的任务。已知在超对数深度条件下，任何不含复位门或中间测量操作的噪声电路输出会与最大混合态无法区分，这意味着所有输入信息都将被破坏。这引发了一个核心问题：是否存在某个低深度区域，当信息通过电路被编码至纠错码空间时仍能得以保存。针对含噪声随机编码电路的数值模拟表明，在噪声率p的倒数数量级临界深度处存在急剧相变——低于该深度阈值时量子信息得以保存，超过阈值后则信息丢失。研究团队严格证明，对于任何编码恒定信息率的含噪声电路而言，这是可实现的最佳深度与噪声率权衡关系。因此在此意义上，随机电路是最优的含噪声编码器。