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在恒定速率的量子低密度奇偶校验码（qLDPC）上实现可寻址且并行的逻辑操作是一个重大挑战。事实上，针对特定逻辑量子位的操作开销是许多量子容错方案中的关键瓶颈。 该团队提出了一套容错协议，可在具有恒定速率和多项式距离的qLDPC码族上，以恒定的时空开销实现各类可寻址及并行逻辑操作。具体而言，研究人员构建了适用于大量逻辑量子位排列操作的器件模块，并利用这些逻辑排列实现了针对任意选定逻辑量子位（或量子位对）的定向哈达玛门（或受控非门）操作模块。此外，该工作还开发了用于制备逻辑码态以及对整个码块中所有逻辑量子位实施哈达玛门操作的器件模块。所有模块均以恒定量子时空开销结合多项式级经典计算完成，而此前同类操作协议要么需要更高开销，要么依赖于缺乏已知渐进构造的特定对称性编码。 该研究团队采用的编码基于由无损扩展图构建的经典码的张量（即超图）乘积。核心技术创新在于二维与三维乘积码间恒定开销的码切换技术，该技术推广了Bombín的维度跃迁方法（arXiv:1412.5079）。研究人员为所有模块提供了严格的容错证明，特别在局域随机噪声模型下验证了恒定阈值的可行性。作为技术延伸，该工作还基于无损扩展图开发了适用于高维乘积码的小集合翻转解码器，并获得了若干有趣推论——例如二维乘积码以恒定时空开销实现的单次态制备。此外，通过将技术扩展到支持此类门横向操作的编码，该团队还提出了实现并行非克利福德门操作的方法。