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该研究团队提出了一种研究开放系统与不可逆现象的有效方法：将具有d维希尔伯特空间的开放系统Σ(d)视为更大孤立系统Σ(2d)（“完整宇宙”）的子系统，后者具有2d维希尔伯特空间。通过一系列巴格曼式表示（称为z-巴格曼表示）可自然引入该扩展空间，这类表示由半酉矩阵定义（实质上是相干态的形式化表述）。系统“开放性”通过从系统流向外部世界的概率流进行量化，研究显示格罗滕迪克量𝒬与概率流相关，可作为系统“开放程度”的评判指标。𝒬通过“重标度变换”表述——这种变换不仅改变波函数的相位，还改变其绝对值，与阻尼/放大等不可逆现象密切相关。研究表明，当将孤立系统Σ(2d)（完整宇宙）中的幺正变换投影至其开放子系统Σ(d)时，会退化为重标度变换。研究人员还比较了开放系统中各类量子态与孤立系统对应量子态的格罗滕迪克𝒬值差异。