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尽管（广义）对称性的格点表示理论近期取得了进展，但许多具有物理意义的简单量子自旋链仍未被纳入融合范畴和弱Hopf代数的刚性框架中。该研究团队证明，通过放宽对底层代数结构的要求可以解决这一问题，并指出一般矩阵乘积算子对称性可由预双代数描述。作为典型案例，研究人员重点分析了XX模型的反常ℤ₂对称性——该对称性反映了其U(1)动量对称性与绕数对称性之间的混合反常。该工作揭示了这一反常性如何嵌入非半单余表示范畴，从而为格点上实现此类反常对称性提供了新机制。此外，描述重整化性质的表示范畴具有半单半幺性，由此产生了一类新型混合态重整化固定点。最后，该团队证明在量子信道意义上，这种反常ℤ₂对称性等价于双塞米昂模型边界上获得的传统MPO对称性。这项研究在拓扑缺陷对称性与实际模型涌现对称性之间建立了重要桥梁。