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量子态的不同表象的半经典近似通常构建在相空间的单一（拉格朗日）曲面上，但该方法不适用于混沌系统。虽然演化算子的半经典表象建立在双倍相空间的类似演化曲面上，但本文证明：对应于作为格林函数或谱维格纳函数表述的酉算子傅里叶变换，勒让德变换会产生一个解析曲面——该曲面作为解析算子半经典表述的经典基础存在于双倍相空间，且与系统的可积或混沌特性无关。该曲面与作用量函数（或生成函数）的导数重合（具体取决于坐标系的适当选择），其增长轨迹在双倍相空间中偏离能量壳层。通过对该解析曲面焦点的初步研究，揭示了其复杂本质类似于多维海绵结构。以周期轨道的线性组合（即伪轨道或复合轨道）对解析算子迹的重整化求和，会在海森堡时间处对半经典求和提供截断。本文证明：对应于更长时间的作用量可近似包含于真实的次级周期轨道中——在这些轨道中，短周期轨道的多重绕转通过异宿轨道连接成更大回路。