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关于边界时间晶体的研究已通过数值模拟和平均场方法得到广泛探讨。然而，目前仍缺乏基于刘维尔算子特征值的系统性解析分析方法，且该方法不依赖于半经典近似。该研究团队在弱耗散极限下的微扰理论框架中，分析了耗散自旋模型的刘维尔谱。通过引入“超自旋”方法，研究人员在微扰理论一阶近似下计算出特征值，为时间晶相的涌现提供了直接而清晰的解释。该工作从解析角度阐明了自发对称性破缺如何导致持续振荡的产生。 该方法可作为明确识别新型耗散集体自旋模型的工具，这些模型能够支持边界时间晶相。研究团队将该技术应用于四个存在不同程度耗散的集体自旋刘维尔算子进行验证，其中首个模型正是文献[1]研究的范式案例。研究表明，边界时间晶相是模型的普遍特征——只要该模型的解可完全由研究人员提出的“超自旋”量表征。此外，该工作还分析了该晶相的稳定性，并证明在某些情况下，该晶相对增强的耗散具有稳定性。