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Page关于平均冯·诺依曼(VN)熵的开创性成果并不适用于现实的多体系统，因为这些系统被限制在物理上相关的较小子空间中。该团队在此研究子空间中纯态的平均VN熵ℋ埃对应于以能量为中心的狭窄能量壳埃。研究人员发现平均熵是秒¯1≃在…中⁡d1，在哪里d1表示第一个子系统与能量尺度相关的有效状态数埃。如果d埃=暗淡(ℋ埃)和D(D1)是整个系统（子系统）的希尔伯特空间维数，团队估计d1≃D1γ，在哪里γ=在…中⁡(d埃)/在…中⁡(D)对于不可积（混沌）系统和γ<在…中⁡(d埃)/在…中⁡(D)对于可积系统。该结果可以重新解释为熵的体积定律，其中体积定律系数取决于不可积系统的态密度，并且始终低于可积系统的最大值。研究人员们对一个自旋模型进行了数值分析，以证实其主要结果。