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构建能够在各种群上高效近似哈尔测度的电路集成，是量子信息理论中长期存在的基础性问题。近期研究表明，虽然可以通过量子比特数量对数级深度的电路获得酉群上的近似设计，但在正交群上不存在亚线性深度的近似设计。本文证明：对于任何拥有不变态G^⊗k|Ψ⟩=|Ψ⟩的群G，研究者推导出任意G元素集成与G上哈尔测度第k阶矩算子之间的钻石距离下界。基于此，该工作证实：对许多重要群而言，由局部门构成的亚线性深度一维电路子集无法形成G上的近似k阶设计。更普遍地，在D维晶格上，这些结果意味着此类群设计至少需要n^(1/D)量级的电路深度。此外，对大多数研究涉及的群，该团队发现这类集成大概率可通过单次恒定深度测量与k阶设计区分。研究特别展示：例如在随机匹配门电路中，(a)无法近似二阶矩的最大电路深度/门数量与(b)精确实现匹配门哈尔分布所需深度/门数量之间存在恒定差异。该研究还排除了克利福德群上存在亚线性深度8阶设计的可能性。最后，研究人员放宽了使用局部门的限制条件，证明任何由泡利字符串生成的门构成的亚线性数量电路，都无法实现G上的近似设计。