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该研究团队利用自由概率理论框架，分析了Rosenzweig-Porter随机矩阵系综的光谱与算子统计特征，该系综展现出包含遍历态、分形态和局域化态在内的丰富相结构。通过运用从属关系公式，研究人员开发了一种微扰方案，推导出系统尺寸二阶精度的态密度半解析表达式，与数值计算结果高度吻合。在遍历相中，该工作采用数值计算和适当解析近似相结合的方法计算了高阶关联函数。对不同自旋算子跨相态统计的分析表明，遍历相中算子统计与自由概率预测高度一致，而分形相和局域化相即使在后期仍存在持续偏差。值得注意的是，分形相虽保留初始谱记忆，却展现出渐近自由的部分特征，这凸显了非局域化本征态对自由概率行为涌现的重要性。通过引入距离度量及统计工具（如χ2统计量、KL散度和Kolmogorov-Smirnov假设检验），该团队定义了标志遍历相算子谱统计自由概率预测生效的特征时间尺度——自由时间。值得关注的是，这些不同方法得出的结论具有高度一致性。