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近年来，人们对随机量子电路的性质和应用产生了浓厚的兴趣。在本研究中，该团队探索了n量子比特上t掺杂的Clifford电路集合，该集合由Clifford电路和t单量子比特非Clifford门组成。研究人员建立了朝向幺正k设计的严格收敛界限，揭示了各种非Clifford资源的固有成本。首先，该团队分析了k阶框架势，它量化了掺杂Clifford电路集合在幺正群内的分布程度。该团队证明二次掺杂水平t=Θ̃ (k²) 是近似全幺正群框架势的必要充分条件。因此，研究人员改进了集合向状态k设计的收敛的现有上限。其次，研究人员推导出t掺杂的Clifford电路收敛于相对误差k设计的严格界限，表明t=Θ̃ (nk) 对于该集合形成相对 ε 近似的k设计既是必要条件也是充分条件。同样， t=Θ̃ (n) 是生成伪随机幺正函数的必要条件。所有这些结果都凸显了生成随机幺正函数在非Clifford资源方面极其昂贵，并且此类集合从根本上超越了经典的可模拟性障碍。此外，研究人员引入了掺杂Clifford的Weingarten函数，推导出随机掺杂Clifford电路集合上旋转算子的解析表达式，并建立了它们在相关区域中的渐近行为。