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该研究从四维奇异谐振子出发，对沃利斯乘积及其倒数进行了变分推导。逆平方相互作用被吸收为一个有效角度参数ν，使得固定扇区中的最低精确能量为 \(E_{4d,\mathrm{exact}}=\hbar\omega(\nu+2)\)。受四维谐振子与三维库仑问题之间的径向库斯塔海莫-斯蒂费尔关系 \(r=\rho^2\) 的启发，该团队使用了四次方试探族 \(R_a(\rho)=N\rho^\nu e^{-a\rho^4}\)。最小化变分能量得到了一个由相邻伽马函数控制的精度比。在大ν的半经典极限下，该比率趋近于1。将ν限制在奇数序列 \(\nu=2n-1\) 得到标准的沃利斯乘积，而偶数序列 \(\nu=2n\) 则得到其倒数形式。库仑对偶解释进一步将这两个分支与对偶库仑/MICZ描述中的整数和半整数有效角度扇区联系起来。结果表明，在谐振子的逆平方形变下，沃利斯型无穷乘积仍然存在，并且源于径向变分动力学中共同的伽马函数结构。