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介绍平均置信宽度 \(Δ_a x = \int_0^1 Δ_c x (\theta_x) d\theta_x\)：即置信宽度 \(Δ_c x(\theta_x)\)（承载概率分数 \(\theta_x\) 的最小位置区间）在所有水平上的平均值。该量是 \(|ψ|^2\) 递减重排的一阶矩，这是一种 \(L^1\) 平均绝对偏差的局域化度量，因此乘积 \(Δ_a x\,Δ_a p\) 具有伸缩不变性，且满足 \(Δ_a x\,Δ_a p \ge c\,\hbar\)。将 \(1/Δ_a x\)读作粒子特征，\(1/Δ_a p\)读作波动特征，则这一联合展宽的下界等价于粒子与波动联合特征的上界：不确定性与波粒二象性是同一不等式的两个侧面。利用 Bialynicki-Birula-Mycielski 关系的平均熵论证，可给出严格的下界 \(c \ge \pi/e\)，而可达常数 \(c^\ast\) 由傅里叶不变算符 \(|x|+|p|\) 的基态决定，\(c^\ast \le E_0^2 \approx 1.217\)。因此 \(\pi/e \le c^\ast \le E_0^2 < 4/\pi\)：最优态是次高斯的，因此高斯态（在海森堡与熵关系中为最优）并非对偶关系的最优解。