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影子层析已成为一种从少量样本中估计量子计算机上可观测量（observables）的强大工具。研究人员证明，经过适当调整后，受影子层析启发的思路可为在经典计算机上估计张量网络态中的可观测量提供类似的样本量缩放改进。针对自旋（玻色子）系统和费米子系统，该团队分别制定了适应张量网络收缩需求的方法，并根据具体任务和系统类型，将样本量的缩放改进因子从 \(O(N)\) 提升至 \(O(N^{3})\)（其中 \(N\) 为系统规模）。对于评估长程相互作用哈密顿量（Hamiltonians）期望值这一重要且艰巨的任务，该研究在自旋系统和费米子系统中均实现了对于任意固定相对蒙特卡罗误差的优化 \(O(1)\) 整体缩放（对数因子除外）。此外，该工作表明，在变分优化任务中，影子估计器提供的可观测量梯度比标准蒙特卡罗估计器更稳定。通过模拟长程相互作用系统（包括二维长程海森堡模型和从头算量子化学哈密顿量），研究人员展示了实际优势。