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该团队研究通过学习未知的η粒子n模态费米子态的经典阴影来学习粒子保持算子的期望值问题。主要应用在于估计与任意斯莱特行列式态的重叠：已知在平均情况下，可以用固定数量的样本以一定加法精度学习此类重叠，但已知最坏情况边界为𝒪(√n log n)；本文将其改进为𝒪(η log η)，实现了与模态无关的样本开销。该过程在计算上也是高效的，仅需经典后处理，对于一般的稠密轨道，其运行时间为𝒪(nη²)。对于估计一般粒子保持二次费米子可观测量h的期望值任务，该团队证明了样本复杂度边界为𝒪(η‖h₀‖₂²)，其中h₀是h的无迹分量；相应的经典后处理规模为𝒪(n²η)。最后，该团队讨论了所需随机化的实现：在第一量子化编码中，近似幺正设计给出了与模态数呈多对数关系的电路深度，这与最近邻第二量子化matchgate实现所需的线性深度形成对比。在技术层面，该工作的证明将极端阴影方差简化为AIII对称空间U(n)/(U(η)×U(n-η))上的调和分析，并利用雅可比系综和正交多项式理论中的技术评估所得积分，这一计算本身可能具有独立的研究价值。