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该研究提出了一种表面码培养协议，用于可重复使用的逻辑催化剂态，这些催化剂态通过相位回踢实现精确的精细二进相位门 \(Z^{2^{-b}}\)。该催化剂是高周期克利福德电路 \(U\) 的本征态，其直接构造基于 \(O(2^b)\) 个逻辑量子比特。一旦培养完成，每次调用通过受控-\(U\) 装置实现目标相位，从而消除在线门中的克利福德+\(T\) 综合近似误差，并使在线非克利福德深度与目标逻辑精度无关。作为具体演示，该团队构建了一个用于 \(\sqrt{T}=Z^{1/8}\) 的催化剂，其中 \(U\) 是一个九量子比特砖墙克利福德电路，受控-\(U\) 由八个受控-CNOT 组成。从九个距离为三的旋转表面码块开始，通过逻辑-\(U\) 校验、综合征提取与后选择、代码增长以及互补间隙解码来培养催化剂。由于相位读出的内在容错性，\emph{单次}验证轮次即可达到领先的纠错缩放，这与培养单量子比特魔态时所需的重复逻辑校验形成对比。混合张量网络与稳定子模拟表明，在物理错误率 \(p=10^{-3}\) 下，后选择催化剂可增长至距离为七的旋转表面码块，逻辑泄漏率约为 \(10^{-6}\)，预期尝试次数约为七次，并且可通过更强的后选择进一步抑制。与现有协议相比，该研究的方法以离线、相位特定的催化剂培养为代价，换取了在具有受限横向门集的代码中实现固定精细二进相位的精确性、可重复使用性以及恒定深度的在线实现。