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拓扑信息广泛应用于数据分析、网络设计和机器学习中，当优化或生成具有预定义同调结构的对象时，拓扑约束自然产生。然而，直接控制贝蒂数和持续同调非常困难，因为这些量是离散且组合的。该团队提出了一种基于同调约束的Hodge-谱松弛和低通谱滤波的可微拓扑约束优化框架。从软图和软团复合体出发，构建了Hodge-拉普拉斯型谱松弛，该松弛统一了图团复合体和点云的Vietoris--Rips过滤。在硬极限下，惩罚正则化环境算子恢复出活跃子复形上的普通Hodge拉普拉斯算子；而在软情形下，它作为一个可微的低频谱代理。同调信息由零模和近零模表示，可微拓扑目标通过热滤波、预解滤波和多项式拉普拉斯矩定义。对于点云，该工作表明，所提出的Hodge谱滤波损失比基于持续同调的损失能产生更具空间分布的梯度、在持续配对变化下更平滑的尺度归一化行为，以及几何感知的更新方向。对于图团复合体，拉普拉斯矩控制归一化的第一贝蒂型量，并能与普通图特征目标结合。该研究还讨论了与基于迹的归一化贝蒂数估计、多项式谱方法以及可能的量子迹估计的联系。