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本文研究了通过分流分解方法构造的离散时间量子游走中的完美态转移（PST）。这些游走定义在图 \(G\) 及其关联的商图 \(G/\pi\) 上，而商图由公平划分 \(\pi\) 诱导。通过 \(G\) 的分流分解，该工作推导出母图 \(G\) 的移位算子与其商图 \(G/\pi\) 的移位算子之间的显式关系。该团队基于特征矩阵构造了一个反射算子，从而建立了母图转移算子与其低维商图转移算子之间的联系。随后，该研究证明，PST 在 \(G\) 上发生当且仅当它在 \(G/\pi\) 上发生。此外，该工作利用第一类切比雪夫多项式表达了商图的酉演化算子，并由此推导出 PST 的显式判据。作为应用，该研究在环图 \(C_n\) 上于时间 \(k = n/2\) 建立了 PST，并通过公平划分 \(\pi\) 将结果提升至母图 \(C_{2n}\)。该团队进一步证明，如果 \(G\) 的公平划分 \(\pi\) 诱导的商图同构于 \(K_n^{\circlearrowleft}\)（即每个顶点带自环的 \(n\) 个顶点完全有向图），则 PST 在步数 \(k = n\) 处发生，且游走在 \(k = 2n\) 处是周期的。该框架被应用于两个图族，即完全二分有向图 \(K_{n,n}^{\rightleftharpoons}\) 和循环图 \(\operatorname{Circ}(2n, S)\)，其中 \(S\) 包含模 \(2n\) 的所有奇剩余，且 \(n = 2^s\) 对某个 \(s \geq 1\) 成立，从而在其对应的线有向图中建立了 PST。这些结果共同回答了 Godsil 和 Zhan 提出的问题，即哪些图的分流分解或嵌入允许 PST。