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研究团队在 𝒩=4 超杨-米尔斯理论及其 β 形变的 𝔰𝔲(2) 扇区中，对平面膨胀算子的有限圈截断中的量子混沌特征进行了研究。这些截断定义了基于全息原理的、对最近邻XXX自旋链的长程形变。单圈模型是可积的，而全圈平面理论预期同样是可积的。因此，有限圈截断为探究这两个可积极限之间混沌行为的涌现提供了自然场景。该团队利用谱统计、本征矢诊断和展宽复杂性分析了这一问题。研究发现，双圈和四圈截断在足够大的耦合强度下会发展出类似高斯正交系综（GOE）的能级统计，但带有弱可积性破缺的特征。四圈截断的可积性破缺程度弱于双圈截断，且混沌发生的临界耦合更大（至少在长自旋链中如此）。在所研究的范围内，三圈截断并未表现出相同的混沌涌现。本征矢诊断表明，相应的本征态随机性仍低于GOE向量，呈现出弱遍历性和多重分形特征。最后，该团队在Krylov空间数据中识别出了能级和本征矢混沌的迹象。具体而言，该工作展示了能级间距统计与展宽复杂性峰值及Krylov链上无序性之间的相关性。研究表明，初始态在哈密顿量本征基中的离域化会显著影响复杂性的饱和。该团队的结果表明，有限圈膨胀算子并非通用的长程自旋链哈密顿量，而是已展现出与全圈平面理论中可积性恢复相一致的模式。