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该团队研究协变测量下相位估计中输入态的优化问题。基于Holevo框架（该框架针对固定输入态提供了最优协变测量），该团队进一步对输入态本身进行优化。对于具有非负傅里叶系数的一般偶数 \(2\pi\) 周期代价函数，该团队推导出最优输入态的一个充要条件：其福克系数（除任意相位外）由代价函数定义的托普利茨矩阵最大特征值对应的特征向量决定。这一表征给出了在最优协变测量下平均代价可达下界的显式表达式，并表明该下界在无穷能量极限下渐近趋于零。对于特定代价函数 \(W(\theta,\tilde\theta)=4\sin^2[(\theta-\tilde\theta)/2]\)，该团队以闭合形式得到了最优输入态及对应的最小平均代价，展示了相对于平均光子数的海森堡标度关系。