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玻色子编码为实现量子纠错提供了一种硬件高效的方法，其中最优的编码能有效保护空闲量子信息免受丢失和退相干的影响——尤其是旋转对称编码，包括猫码和二项式码系列。然而，旋转对称编码天然只具备单个逻辑泡利门，而其他逻辑门则需要使用非线性操作，这阻碍了这些编码在实现量子算法中的实用性。在此，该团队通过引入玻色子循环码来平衡纠错保护与可控性：这是一种旋转对称编码的推广，能够在可测量的纠错保护特性与容错逻辑相位门之间进行权衡。通过该团队的通用构造发现，与旋转对称编码相比，牺牲单个光子丢失的可检测性，可以产生与编码原始旋转对称阶数相当数量的逻辑相位门，所有这些门均可通过无源高斯旋转实现。该团队给出了相应的猫码和二项式码推广——分别称为循环猫码和范德蒙码——并进一步发现这些编码的许多理想特性可迁移至玻色子循环码设置中。该团队接着讨论了编码更大的 \(SU(2)\) 对称性与旋转门，这带来了额外的稳定子与逻辑泡利门，以及针对最小“小猫”二项式码的新型非克利福德门，并提供了一种新的错误检测协议。最后，该团队引入了一种通用范式，用于将高阶稳定子转换为逻辑门（正如该团队对旋转对称编码的推广那样），并将其应用于多种多模玻色子编码。