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该团队研究了对称子空间 \(\mathrm{Sym}^n(\mathbb{C}^q)\) 中 \(n\) 个局部维度为 \(q\) 的量子比特的置换不变量子码。对于每个整数 \(q \geq 2\)，该团队构造了一个参数为 \(((4,q,2))_q\) 的置换不变码。因此，对于每个局部维度，在对称扇区中，四个物理量子比特足以编码一个距离为二的逻辑量子比特。该团队还利用置换不变量子码的线性规划约束条件表明，对于 \(n \leq 3\)，在 \(\mathrm{Sym}^n(\mathbb{C}^q)\) 中不存在维度为 \(q\) 且距离至少为二的置换不变码。因此，四个量子比特是必要且充分的。该构造具有简单的表示论和组合描述。在不可约 \(\mathrm{SU}(q)\) 模 \(\mathrm{Sym}^4(\mathbb{C}^q)\) 中，距离二的 Knill-Laflamme 条件被分为根部分和 Cartan 部分。通过将支撑限制在偶数入口占据层，所有根误差条件自动消失。剩余的 Cartan 条件简化为占据向量包上的线性平衡约束。这些包在完全图 \(K_q\) 的顶点和边方面具有自然的图论解释：对于奇数 \(q\)，它们由中点规则组织；而对于偶数 \(q\)，它们由 \(K_q\) 分解为完美匹配的方式组织。通过这种方式，最小 \(((4,q,2))_q\) 置换不变码的存在性被简化为 \(K_q\) 上一个依赖奇偶性的边着色问题。