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研究表明，希尔伯特空间和乐为碎片化非厄米多体系统中频谱实性的几何组织原理提供了依据，是对传统对称性保护的补充。在两个最小碎片化模型中，复频谱仅出现在对称性最高的扇区：费米子模型中的半填充和自旋链中的零磁化。增加或移除单个粒子，或翻转单个自旋，即使周期边界条件保持不变，也会使整个频谱变为实值，这让人联想到存在非厄米趋肤效应的系统中边界条件敏感性。该团队通过将非互易跳跃振幅视为Krylov图上的离散规范场来解释这一现象：平凡和乐允许通过相似变换对角化为厄米极限，而非平凡和乐则阻碍这一过程，从而允许复频谱存在。在某些条件下，平凡和乐可解释为涌现边界效应，而长程模型则根据相同判据展现出有限的实部和复部区域。