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该团队利用近乎平行的纯态来刻画 \(\mathbb{M}_n\) 上的正线性泛函 \(\phi\)，其结论是：\(\phi\) 是迹的正倍数当且仅当对所有正定矩阵 \(A\) 和 \(B\)，有 \(\phi(A \natural B) \leq \sqrt{\phi(A) \phi(B)}\)。这里 \(A \natural B = (A^{-1} \# B)^{1/2} A (A^{-1} \# B)^{1/2}\) 表示谱几何平均。为进一步阐明，该团队通过不等式 \(\phi(A \natural B) \leq \phi((A+B)/2)\)（对所有正定矩阵 \(A\) 和 \(B\) 成立）建立了新的刻画。该工作还给出了一个适用于所有正定矩阵的关于量子保真度的迹不等式，并证明该不等式并不能刻画迹。