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本论文给出了一个数学证明：在合成具有g项的n量子位相位多项式时，所需CNOT门数量的下限为𝒪(g·n·max(log g,1))，上限为𝒪(g·n)。然而在受限硬件环境下，并非所有CNOT门都被允许。若采用基于SWAP的方法在架构上路由量子位以使早期合成门天然可用，则CNOT数量将增加路由开销系数𝒪(log n)≤α≤𝒪(n·log²n)。但若仅合成允许门，则无需路由任何量子位，此时路由开销系数为1≤α≤4≃𝒪(1)。此外，由于相位多项式与Hadamard门共同构成通用门集，该研究几乎实现了量子位路由的零成本化。