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通过理想化的量子力学模型，我们形式化地描述了零温度下三维空间（3D）中固定平面附近表达电荷密度振荡的非延迟电磁表面波的色散关系。该研究旨在捕捉微观尺度间的相互作用，包括表面等离子激元（平面附近集体低能电荷激发）形成过程中的约束长度。研究从三维含时Hartree型方程出发，该模型考虑了粒子与平面的束缚作用以及相对于基态的诱导电荷密度所产生的排斥库仑相互作用。通过对运动方程线性化处理，我们建立了垂直于平面（z方向）的粒子波函数散射幅所满足的齐次积分方程。对于与负δ函数成正比的束缚势和z对称波函数，我们对正z坐标应用拉普拉斯变换，将积分方程转化为包含变换解多个取值的泛函方程。借助Mittag-Leffler定理，散射幅和色散关系以快速收敛级数的形式被精确导出。在半经典区域，该结果为能量激发谱提供了渐近展开式，其首项与基于投影欧拉-泊松系统的经典流体力学模型预测结果一致。