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该研究团队提出了一种基于两种可解径向系统的沃利斯公式统一量子力学推导方法：三维各向同性谐振子的圆形态，以及包含最低朗道能级在内的平面福克-达尔文问题最低径向支态。在这两种情况下，径向概率密度均具有精确形式P(r)∝rνe-λr²，由此产生与尺度无关的倒数可观测量Q=⟨r⟩⟨r⁻¹⟩。这两个系统实现了同一矩公式的偶数和奇数半整数伽马函数分支，因此相关有限沃利斯部分积在一个情况下由Q决定，在另一情况下则由Q⁻¹决定。在大角动量区域，相应态会局域化于薄球壳或窄环状区域，相对径向宽度趋近于零，使得Q→1，此时两种有限积表示均退化为π的沃利斯公式。